Usando o teste de comparação com limite de séries, estudar a convergência da série sumn=1 2 n^2+n+75 n^5-n-3.

Passo 1

A gente quer estudar a convergência da série de termos positivos an=2n^2+n+75n^5-n-3. O assunto é o teste de comparação por limite, que diz que se você comparar sua série com outra bn já conhecida e o limite L=limntoinftyan/bn existir e for um número finito e maior que zero, então as duas séries convergem ou divergem juntas.

Passo 2

Para escolher a série de comparação bn, observo que para n grande o numerador cresce como 2n^2 e o denominador como 5n^5, então anapproxtfrac25n^-3. Logo, tomo
bn=1n^3,
que é uma p-série com p=3>1 e portanto sum bn converge.

Passo 3

Agora calculo o limite
L=limntoinftyanbn=limntoinfty(2n^2+n+7)/(5n^5-n-3)1/n^3

Passo 4

Faço a simplificação multiplicando numerador e denominador por n^3:
L=limntoinfty(2n^2+n+7)n^35n^5-n-3=limntoinfty2n^5+n^4+7n^35n^5-n-3
Como o termo de grau 5 domina, o limite é
L=25

Passo 5

Como 0 e já sabemos que sum bn=sum1/n^3 converge, pelo teste de comparação por limite a série sum an também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados