Nos Problemas 37-42, use a Definição 1.1.2 para resolver cada equação para z=a+i b.
z^2=i

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar todos os números complexos z = a + ib que satisfazem z^2 = i. O conteúdo é resolução de equações em C usando partes real e imaginária, e vamos precisar usar que para z = a + ib vale z^2 = (a^2 - b^2) + i,2ab.

Passo 2

Substituindo z = a + ib em z^2, temos
z^2 = (a + ib)^2 = a^2 + 2iab + i^2b^2 = (a^2 - b^2) + i,2ab

Passo 3

Comparando com i = 0 + i,1, igualamos partes real e imaginária e obtemos o sistema
a^2 - b^2 = 0, 2ab = 1

Passo 4

Da primeira equação a^2 - b^2 = 0 segue a^2 = b^2, ou seja, b = a ou b = -a.
  • Se b = a, então 2ab = 2a^2 = 1, logo a^2 = tfrac12, com a = pmtfrac1raiz2 e b = a.
  • Se b = -a, então 2ab = -2a^2 = 1 não admite solução real.

Passo 5

Portanto, as soluções de z^2 = i são
z = 1raiz2 + i,1raiz2 e z = -1raiz2 - i,1raiz2

Resposta

As soluções são z = tfrac1raiz2 + i,tfrac1raiz2 e z = -tfrac1raiz2 - i,tfrac1raiz2.

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