Em cada caso abaixo, determine se é ou não campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine um potencial para .
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o campo vetorial em . O conteúdo aqui é reconhecer se é conservativo (campo gradiente) e, em caso afirmativo, achar um potencial tal que . Para isso vamos usar o teste do rotor e depois integrar.
Passo 2
Vamos calcular o rotor de . Para um campo em , segue o bloco
[
\nabla \times \vec F
=
= partial (xy)partial y-partial (xz)partial z partial (yz)partial z-partial (xy)partial x partial (xz)partial x-partial (yz)partial y
= x - x y - y z - z
=000.
Como nablatimesvec F=0 em R^3, que é simplesmente conectado, concluímos que vec F é conservativo.
Passo 3
Para encontrar o potencial f, integramos:
dfracpartial fpartial x=yz implica
f(x,y,z)=xyz+g(y,z)
Comparando com dfracpartial fpartial y=xz+gy(y,z) e exigindo que seja xz, vem gy=0, logo g=g(z).
De dfracpartial fpartial z=xy+g'(z) igual a xy obtemos g'(z)=0, ou seja, g é constante.
Portanto, um potencial para vec F é f(x,y,z)=xyz+C, com C constante.