Em cada caso abaixo, determine se F é ou não campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine um potencial para F.
F(x, y, z)=(y z) i+(x z) j+(x y) k em R^3

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o campo vetorial vec F(x,y,z)=(yz,,xz,,xy) em R^3. O conteúdo aqui é reconhecer se vec F é conservativo (campo gradiente) e, em caso afirmativo, achar um potencial f tal que nabla f=vec F. Para isso vamos usar o teste do rotor e depois integrar.

Passo 2

Vamos calcular o rotor de vec F. Para um campo (P,Q,R) em R^3, segue o bloco
[
\nabla \times \vec F
= partial Rpartial y-partial Qpartial z partial Ppartial z-partial Rpartial x partial Qpartial x-partial Ppartial y
= partial (xy)partial y-partial (xz)partial z partial (yz)partial z-partial (xy)partial x partial (xz)partial x-partial (yz)partial y
= x - x y - y z - z
= 000.
Como nablatimesvec F=0 em R^3, que é simplesmente conectado, concluímos que vec F é conservativo.

Passo 3

Para encontrar o potencial f, integramos:
  1. dfracpartial fpartial x=yz implica
f(x,y,z)=xyz+g(y,z)
  1. Comparando com dfracpartial fpartial y=xz+gy(y,z) e exigindo que seja xz, vem gy=0, logo g=g(z).
  2. De dfracpartial fpartial z=xy+g'(z) igual a xy obtemos g'(z)=0, ou seja, g é constante.
Portanto, um potencial para vec F é f(x,y,z)=xyz+C, com C constante.

Resposta

f(x,y,z)=xyz+C

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