Nos Problemas 37-42, use a Definição 1.1.2 para resolver cada equação para z=a+i b.
barz^2=4 z

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver a equação bar z^2 = 4z onde z = a + ib. O conteúdo aqui é número complexo e seu conjugado, e vamos usar a definição bar z = a - ib.

Passo 2

Escrevendo z = a + ib e bar z = a - ib, temos
bar z^2 = (a - ib)^2 = a^2 - 2iab - b^2 = (a^2 - b^2) - 2iab
e
$$
4z = 4(a + ib) = 4a + 4ib.
$$

Passo 3

Agora igualamos as partes real e imaginária de bar z^2 = 4z:
Parte real:
a^2 - b^2 = 4a,
Parte imaginária:
-2ab = 4b

Passo 4

Da parte imaginária -2ab = 4b surgem dois casos:
Caso 1: b neq 0. Dividindo por b
-2a = 4 implies a = -2
Substituindo em a^2 - b^2 = 4a:
(-2)^2 - b^2 = 4(-2) implies 4 - b^2 = -8 implies b^2 = 12 implies b = pm 2raiz3

Passo 5

Caso 2: b = 0. A parte imaginária fica 0=0 (sempre verdadeira). Da parte real
a^2 = 4a implies a(a - 4) = 0 implies a = 0 ou a = 4

Passo 6

Juntando tudo, as soluções são
z = 0, z = 4, z = -2 + 2iraiz3, z = -2 - 2iraiz3

Resposta

As soluções da equação são z = 0, z = 4, z = -2 + 2iraiz3 e z = -2 - 2iraiz3.

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