Usando o teste da integral, estudar a convergência da série
.
Passo 1
Resumindo o enunciado, queremos estudar a convergência da série
. Vamos usar o teste da integral, que exige definir uma função contínua, positiva e decrescente
tal que
.
Passo 2
Definimos
para
. Note que para
temos
logo
. A derivada de
é negativa (podemos verificar derivando ou observando que o denominador cresce com
), então
é decrescente.
Passo 3
Agora aplicamos o teste da integral, calculando a integral imprópria
Fazemos a substituição
, de onde
. Os limites em
e
viram
e
. A integral passa a ser
Passo 4
Como a integral diverge, o teste da integral nos diz que a série
também diverge.
Resposta
A série diverge pelo teste da integral.