Usando o teste da integral, estudar a convergência da série sumn=2 1n raizln n.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos estudar a convergência da série sumn=2^infty 1nraizln n. Vamos usar o teste da integral, que exige definir uma função contínua, positiva e decrescente f(x) tal que f(n)=an.

Passo 2

Definimos f(x)=1xraizln x para x>=2. Note que para x>=2 temos ln x>0 logo f(x)>0. A derivada de f(x) é negativa (podemos verificar derivando ou observando que o denominador cresce com x), então f(x) é decrescente.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da integral, calculando a integral imprópria
integral2^infty1xraizln x,dx
Fazemos a substituição t=ln x, de onde dt=dxx. Os limites em x=2 e xtoinfty viram t=ln2 e ttoinfty. A integral passa a ser
integralln2^inftyt^-1/2,dt =[2raizt]ln2^infty =limTtoinfty2raizT-2raizln2=infty

Passo 4

Como a integral diverge, o teste da integral nos diz que a série sumn=2^infty1nraizln n também diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da integral.

Exercícios relacionados