Em cada caso abaixo, encontre a equação da reta tangente à f(x) no ponto P dado.
f(x)=x e^{-x}, P=\left(1, e^{-1}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x\,e^{-x}
e o ponto
P=\bigl(1,e^{-1}\bigr),
e pede a reta tangente a f em P. Vamos usar derivadas para obter o coeficiente angular e então a equação da reta tangente.

Passo 2

Calculamos a derivada f'(x) aplicando a regra do produto: se f(x)=u(x)v(x) com u(x)=x e v(x)=e^{-x}, então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Como u'(x)=1 e v'(x)=-e^{-x}, resulta
f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x}) =e^{-x}(1-x).

Passo 3

Agora avaliamos em x=1:
f'(1)=e^{-1}\bigl(1-1\bigr)=e^{-1}\cdot0=0.
Ou seja, o coeficiente angular da reta tangente em P é zero.

Passo 4

A equação da reta tangente em x=1 é dada por
y - f(1) = f'(1)\,(x - 1).
Sabendo que f(1)=1\cdot e^{-1}=e^{-1} e f'(1)=0, temos
y - e^{-1} = 0\cdot(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y = e^{-1}.

Resposta

y = e^{-1}

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