Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{1+792 \cos \left(x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \sqrt{1 + 792 \cos\bigl(x^{2}\bigr)}.
O conteúdo principal aqui é o uso da regra da cadeia, juntamente com as fórmulas
\bigl(\sqrt{u}\bigr)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}},
\bigl(\cos v\bigr)' = -\sin v\cdot v'.

Passo 2

Seja
u(x) = 1 + 792 \cos\bigl(x^{2}\bigr),
de modo que
f(x) = \bigl(u(x)\bigr)^{1/2}.
Aplicando a regra da cadeia ao “raiz de u”, temos
f'(x) = \frac{u'(x)}{2\,\sqrt{u(x)}}.

Passo 3

Agora calculamos u'(x):
u'(x) = \bigl[1 + 792 \cos(x^2)\bigr]' = 792 \,\bigl(\cos(x^2)\bigr)' = 792 \,\bigl(-\sin(x^2)\bigr)\cdot (x^2)' = -1584\,x\,\sin(x^2).

Passo 4

Substituindo u'(x) em f'(x):
f'(x) = \frac{-1584\,x\,\sin(x^2)}{2\,\sqrt{1 + 792 \cos(x^2)}} = -\frac{792\,x\,\sin(x^2)}{\sqrt{1 + 792 \cos(x^2)}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{792\,x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)}{\sqrt{1 + 792 \cos\bigl(x^{2}\bigr)}}.

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