Em cada caso abaixo, encontre f^{\prime}(x), para o valor de x indicado.
f(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{1-\cos x} ; x=\pi / 6

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\sin x}{1-\cos x}
avaliada em x=\pi/6.
O conteúdo necessário é a regra do quociente e a identidade trigonométrica \sin^2x+\cos^2x=1.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente a f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com u(x)=\sin x e v(x)=1-\cos x, ou seja
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^2} =\frac{\cos x\,(1-\cos x)-\sin x\,(\sin x)}{(1-\cos x)^2}.

Passo 3

No numerador use a identidade \cos^2x+\sin^2x=1:
\cos x\,(1-\cos x)-\sin^2x =\cos x-\cos^2x-\sin^2x =\cos x-1.
Logo,
f'(x) =\frac{\cos x-1}{(1-\cos x)^2}.

Passo 4

Note que \cos x-1=-(1-\cos x). Então
f'(x) =-\frac{1-\cos x}{(1-\cos x)^2} =-\frac{1}{1-\cos x}.

Passo 5

Agora substituímos x=\pi/6. Como \cos(\pi/6)=\tfrac{\sqrt3}{2}, temos
f'\bigl(\tfrac\pi6\bigr) =-\frac{1}{1-\tfrac{\sqrt3}{2}} =-\frac{1}{\tfrac{2-\sqrt3}{2}} =-\frac{2}{2-\sqrt3}.
Racionalizando o denominador:
-\frac{2}{2-\sqrt3}\cdot\frac{2+\sqrt3}{2+\sqrt3} =-\frac{2(2+\sqrt3)}{4-3} =-(4+2\sqrt3).

Resposta

f'\bigl(\tfrac\pi6\bigr)=-4-2\sqrt3.

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