Encontre as derivadas das funções abaixo
f(x)=\frac{5 x^{3}}{2 x^{2}+3 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \frac{5x^3}{2x^2 + 3x}.
O conteúdo aqui é a derivação de quociente, usando a regra
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Passo 2

Definimos
u(x) = 5x^3 \quad\text{e}\quad v(x) = 2x^2 + 3x.
Logo,
u'(x) = 15x^2 \quad\text{e}\quad v'(x) = 4x + 3.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente,
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) \;-\; u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.

Passo 4

Substituindo u, u', v e v' na fórmula, o numerador fica
u'(x)\,v(x) = 15x^2\,(2x^2+3x) = 30x^4 + 45x^3,
u(x)\,v'(x) = 5x^3\,(4x+3) = 20x^4 + 15x^3.
Então
\text{numerador} = (30x^4 + 45x^3) - (20x^4 + 15x^3) = 10x^4 + 30x^3.

Passo 5

Fatorando o numerador e escrevendo o denominador,
10x^4 + 30x^3 = 10x^3(x+3),
\bigl(v(x)\bigr)^2 = (2x^2+3x)^2 = x^2\,(2x+3)^2.
Cancelando x^2,
f'(x) = \frac{10x^3(x+3)}{x^2(2x+3)^2} = \frac{10x(x+3)}{(2x+3)^2}.

Resposta

f'(x) = \frac{10x(x+3)}{(2x+3)^2}.

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