Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0} f(x), onde f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \neq 0 \\\\ 0, x=0\end{array}\right.;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x},&x\neq0,\\\\ 0,&x=0, \end{cases}
e pede \lim_{x\to0}f(x). O conteúdo aqui é cálculo de limite de função definida por partes, usando o limite fundamental \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 2

Como o valor de f em x=0 não interfere no limite, basta calcular
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.
Pelo Teorema do Confronto (ou limite fundamental), sabemos que para x próximo de zero
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1,
e como \lim_{x\to0}\cos x=1, concluímos
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 3

Portanto, o limite desejado é
\lim_{x\to0}f(x)=1.

Resposta

\,1

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