Utilize a definição de derivada por meio de limites para calcular f^{\prime}(p) onde
f(x)=e^{x} em x=-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=e^{x} no ponto x=-1. O conteúdo é definição de derivada via limites, e vamos usar a fórmula que expressa f'(p) como limite do quociente incremental.

Passo 2

A definição de derivada de uma função f no ponto p é
f'(p) = \lim_{h \to 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h}.

Passo 3

Substituindo f(x)=e^{x} e p=-1 na definição, obtemos
f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{-1 + h} - e^{-1}}{h}.

Passo 4

No numerador, fatoramos e^{-1}:
f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{-1}\bigl(e^{h} - 1\bigr)}{h} = e^{-1} \lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h}.

Passo 5

É conhecido que
\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1,
pois essa é exatamente a derivada de e^{x} em x=0. Portanto,
f'(-1) = e^{-1} \cdot 1 = e^{-1}.

Resposta

f'(-1) = e^{-1}.

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