Resolva:
y^prime=yx+x y^3, y(12)=raiz83

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = yx + x,y^3,
com condição inicial yl(tfrac12r)=raiztfrac83.
Esse é um caso de equação de Bernoulli, do tipo
y' + P(x),y = Q(x),y^n,
com n=3.

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão y' + P(x)y = Q(x)y^n. Aqui
y' - 1x,y = x,y^3,
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P(x) = -1x, Q(x)=x, n=3

Passo 3

Em uma Bernoulli, fazemos a substituição
z = y^,1-n = y^-2
Calculamos
z' = -2,y^-3,y',
e inserimos y' da equação original para obter uma equação linear em z.

Passo 4

Após manipular:
z' + 2x,z = -2,x
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(!integral tfrac2x,dxr) = x^2
Multiplicando por mu e integrando:
l(z,x^2r)' = -2,x^3 Longrightarrow z,x^2 = integral -2,x^3,dx = -x^42 + C

Passo 5

Isolando z:
z = y^-2 = Cx^2 - x^22

Passo 6

Usamos a condição y(tfrac12)=raiztfrac83. Então
y^-2l(tfrac12r) = 1,83, = 38 = C(1/2)^2 - (1/2)^22 = 4C - 18
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4C - 18 = 38 Longrightarrow 4C = 12 Longrightarrow C = 18

Passo 7

Com C=tfrac18, temos
y^-2 = 18x^2 - x^22 = 1 - 4x^48x^2 Longrightarrow y^2 = 8x^21 - 4x^4
Como a condição inicial dá y>0,
y(x) = 2raiz2;xraiz,1 - 4x^4,

Resposta

y(x) = 2raiz2;xraiz1 - 4x^4

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