Em cada caso abaixo, esboce a região
delimitada pelas curvas dadas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo indicado:
; eixo
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos as curvas
,
(que é o eixo
) e
. A região
delimitada por essas curvas será girada em torno do eixo
. Vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos, para encontrar o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região
. A curva
começa na origem e sobe para a direita. A linha
é o eixo
, e
é uma linha vertical que corta a curva em
(porque
). Então, a região
é a área abaixo da curva
, acima do eixo
, e entre
e
.
Passo 3
Vamos girar essa região em torno do eixo
. Para calcular o volume, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a área dos discos formados pela rotação. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde:
-
é o raio externo, -
é o raio interno, -
e são os limites de integração.
Passo 4
Aqui, o eixo de rotação é
. A distância de um ponto na curva
até esse eixo é
. Então:
- O raio externo
é a distância do eixo de rotação até o eixo , que é . - O raio interno
é a distância do eixo de rotação até a curva, que é .
Passo 5
Substituindo na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Avaliando de
a
:
Para
:
Para
:
Então, a integral definida é
.
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.