Em cada caso abaixo, esboce a região D delimitada pelas curvas dadas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região D em torno do eixo indicado:
y=raizx ; y=0 ; x=4; eixo y=2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos as curvas y = raizx , y = 0 (que é o eixo x ) e x = 4 . A região D delimitada por essas curvas será girada em torno do eixo y = 2 . Vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos, para encontrar o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região D . A curva y = raizx começa na origem e sobe para a direita. A linha y = 0 é o eixo x , e x = 4 é uma linha vertical que corta a curva em y = 2 (porque raiz4 = 2 ). Então, a região D é a área abaixo da curva y = raizx , acima do eixo x , e entre x = 0 e x = 4 .

Passo 3

Vamos girar essa região em torno do eixo y = 2 . Para calcular o volume, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a área dos discos formados pela rotação. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
V = pi integrala^b [R(x)]^2 - [r(x)]^2 , dx
onde:
  • R(x) é o raio externo,
  • r(x) é o raio interno,
  • a e b são os limites de integração.

Passo 4

Aqui, o eixo de rotação é y = 2 . A distância de um ponto na curva y = raizx até esse eixo é 2 - y = 2 - raizx . Então:
  • O raio externo R(x) é a distância do eixo de rotação até o eixo x , que é 2 - 0 = 2 .
  • O raio interno r(x) é a distância do eixo de rotação até a curva, que é 2 - raizx .

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:
V = pi integral0^4 [2]^2 - [2 - raizx]^2 , dx
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
[2]^2 - [2 - raizx]^2 = 4 - (4 - 4raizx + x) = 4raizx - x
Então, a integral fica:
V = pi integral0^4 (4raizx - x) , dx

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
integral (4raizx - x) , dx = 4 integral x^1/2 , dx - integral x , dx = 4 ( 23 x^3/2 ) - 12 x^2 + C = 83 x^3/2 - 12 x^2 + C
Avaliando de 0 a 4 :
Para x = 4 :
83 (4)^3/2 - 12 (4)^2 = 83 times 8 - 12 times 16 = 643 - 8 = 643 - 243 = 403
Para x = 0 :
83 (0)^3/2 - 12 (0)^2 = 0 - 0 = 0
Então, a integral definida é 403 .

Resposta

O volume do sólido gerado é 403 pi unidades cúbicas.

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