Resolva as equações diferenciais:
sujeita a
.
sujeita a
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é bem legal! A gente tem a equação
junto com as condições iniciais
e
. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares de Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar:
Isso facilita a identificação dos coeficientes para resolver a equação característica.
Passo 3
Agora, vamos formar a equação característica associada:
Resolvendo essa equação para
, encontramos os valores que vão nos ajudar a construir a solução geral.
Passo 4
Fatorando a equação característica:
Então, as raízes são
e
. Essas raízes nos dizem a forma da solução geral da equação diferencial.
Passo 5
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Como
, podemos simplificar para:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Isso nos dá a primeira equação para encontrar
e
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada de
para usar a segunda condição inicial:
Aplicando
:
Então,
.
Passo 8
Com
, voltamos à primeira equação para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: