Resolva as equações diferenciais:
y^prime prime=y^prime
sujeita a y(0)=1, y^prime(0)=7.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é bem legal! A gente tem a equação y'' = y' junto com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 7 . Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares de Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar:
y'' - y' = 0
Isso facilita a identificação dos coeficientes para resolver a equação característica.

Passo 3

Agora, vamos formar a equação característica associada:
m^2 - m = 0
Resolvendo essa equação para m , encontramos os valores que vão nos ajudar a construir a solução geral.

Passo 4

Fatorando a equação característica:
m(m - 1) = 0
Então, as raízes são m = 0 e m = 1 . Essas raízes nos dizem a forma da solução geral da equação diferencial.

Passo 5

Com as raízes m1 = 0 e m2 = 1 , a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^0x + C2 e^x
Como e^0x = 1 , podemos simplificar para:
y(x) = C1 + C2 e^x
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar a primeira condição inicial y(0) = 1 :
y(0) = C1 + C2 e^0 = C1 + C2 = 1
Isso nos dá a primeira equação para encontrar C1 e C2 .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada de y(x) para usar a segunda condição inicial:
y'(x) = 0 + C2 e^x = C2 e^x
Aplicando y'(0) = 7 :
y'(0) = C2 e^0 = C2 = 7
Então, C2 = 7 .

Passo 8

Com C2 = 7 , voltamos à primeira equação para encontrar C1 :
C1 + 7 = 1
C1 = 1 - 7
C1 = -6

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -6 + 7,e^x

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