Em cada caso abaixo, esboce a região
delimitada pelas curvas dadas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo indicado:
; eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui: temos três curvas que delimitam uma região
. As curvas são
(uma linha reta que sobe),
(o eixo x) e
(uma linha vertical). Nosso objetivo é esboçar essa região e calcular o volume do sólido que ela forma quando giramos
em torno do eixo y. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de volumes por revolução, especificamente o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
.
-
: É uma linha que passa pela origem (0,0) e sobe com inclinação de 45 graus. -
: É o próprio eixo x. -
: É uma linha vertical que corta o eixo x no ponto (2,0).
Quando a gente junta essas três curvas, a região
fica como um triângulo retângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,2).
Passo 3
Agora, vamos decidir qual método usar para calcular o volume. Como vamos girar a região em torno do eixo y, o método das cascas cilíndricas é bem adequado. Esse método envolve considerar uma fatia vertical da região e girá-la para formar uma casca cilíndrica.
Passo 4
A fórmula do volume pelo método das cascas cilíndricas é:
Onde:
-
é a distância da casca ao eixo de rotação (no nosso caso, o eixo y). -
é a altura da casca, que aqui é determinada pela função .
Passo 5
Vamos identificar os limites de integração. Olhando para nossa região
, o valor de
varia de 0 a 2. Então,
e
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Aqui,
porque a altura da casca em cada ponto
é dada pela função
.
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Passo 8
Agora, multiplicamos o resultado da integral pelo fator externo:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.