Em cada caso abaixo, esboce a região D delimitada pelas curvas dadas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região D em torno do eixo indicado:
y=x ; y=0 ; x=2; eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui: temos três curvas que delimitam uma região D . As curvas são y = x (uma linha reta que sobe), y = 0 (o eixo x) e x = 2 (uma linha vertical). Nosso objetivo é esboçar essa região e calcular o volume do sólido que ela forma quando giramos D em torno do eixo y. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de volumes por revolução, especificamente o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D .
  • y = x : É uma linha que passa pela origem (0,0) e sobe com inclinação de 45 graus.
  • y = 0 : É o próprio eixo x.
  • x = 2 : É uma linha vertical que corta o eixo x no ponto (2,0).
Quando a gente junta essas três curvas, a região D fica como um triângulo retângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,2).

Passo 3

Agora, vamos decidir qual método usar para calcular o volume. Como vamos girar a região em torno do eixo y, o método das cascas cilíndricas é bem adequado. Esse método envolve considerar uma fatia vertical da região e girá-la para formar uma casca cilíndrica.

Passo 4

A fórmula do volume pelo método das cascas cilíndricas é:
V = 2pi integrala^b x cdot h(x) , dx
Onde:
  • x é a distância da casca ao eixo de rotação (no nosso caso, o eixo y).
  • h(x) é a altura da casca, que aqui é determinada pela função y = x .

Passo 5

Vamos identificar os limites de integração. Olhando para nossa região D , o valor de x varia de 0 a 2. Então, a = 0 e b = 2 .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
V = 2pi integral0^2 x cdot x , dx = 2pi integral0^2 x^2 , dx
Aqui, h(x) = x porque a altura da casca em cada ponto x é dada pela função y = x .

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral0^2 x^2 , dx = [ x^33 ]0^2 = 2^33 - 0^33 = 83

Passo 8

Agora, multiplicamos o resultado da integral pelo fator externo:
V = 2pi cdot 83 = 16pi3

Resposta

O volume do sólido gerado é dfrac16pi3 unidades cúbicas.

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