Mostre que lim (x, y) (0,0) 2 x y^2x^2+y^2=0, utilizando
(a) A definição de limite (varepsilon-de<a)
(b) O Teorema do Confronto (1)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos mostrar que o limite de 2xy^2x^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a 0. Para resolver isso, vamos utilizar duas abordagens:
(a) A definição de limite (varepsilon-de<a).
(b) O Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Parte (a): Utilizando a definição de limite (varepsilon-de<a)

Primeiro, vamos entender o que significa a definição de limite (varepsilon-de<a). Queremos garantir que, para todo varepsilon > 0, existe um de<a > 0 tal que, sempre que a distância entre (x, y) e (0,0) for menor que de<a, a expressão |2xy^2x^2+y^2| seja menor que varepsilon.

Passo 3

Vamos começar avaliando a expressão |2xy^2x^2+y^2|. Podemos simplificar:
|2xy^2x^2+y^2| = 2|x|y^2x^2+y^2
Como x^2 + y^2 >= y^2, temos:
2|x|y^2x^2+y^2 <= 2|x|y^2y^2 = 2|x|

Passo 4

Agora, queremos que 2|x| < varepsilon. Para isso, basta escolher de<a de forma que |x| < varepsilon2. Além disso, como (x, y) está próximo de (0,0), temos que |x| < de<a e |y| < de<a.

Passo 5

Definimos então que de<a = varepsilon2. Assim, sempre que raizx^2 + y^2 < de<a, teremos |x| < de<a = varepsilon2, o que garante que:
|2xy^2x^2+y^2| <= 2|x| < varepsilon

Passo 6

Parte (b): Utilizando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem)

O Teorema do Confronto nos diz que se f(x, y) <= g(x, y) <= h(x, y) e lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = lim(x, y) to (0,0) h(x, y) = L, então lim(x, y) to (0,0) g(x, y) = L.

Passo 7

Vamos encontrar funções que “apertem” nossa função 2xy^2x^2+y^2. Observamos que:
|2xy^2x^2+y^2| <= 2|x|y^2x^2+y^2 <= 2|x|
Além disso, sabemos que 2|x| to 0 quando (x, y) to (0,0).

Passo 8

Escolhemos as funções de comparação:
  • Função inferior: -2|x|
  • Função superior: 2|x|
Ambas têm limite 0 quando (x, y) to (0,0).

Passo 9

Pelo Teorema do Confronto, como -2|x| <= 2xy^2x^2+y^2 <= 2|x| e ambos os limites das funções de comparação são 0, concluímos que:
lim(x, y) to (0,0) 2xy^2x^2+y^2 = 0

Resposta

Portanto, utilizando tanto a definição de limite (varepsilon-de<a) quanto o Teorema do Confronto, mostramos que lim (x, y) (0,0) 2 x y^2x^2+y^2=0.

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