Encontre a solução geral para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer a teoria das equações diferenciais homogêneas e particulares, além de ter uma noção de funções trigonométricas e suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
. Isso significa que estamos procurando soluções que satisfazem essa equação sem o termo não homogêneo (ou seja, sem o
).
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos
, ou seja,
.
Passo 4
Os valores de
são complexos, então a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é uma função trigonométrica
, tentaremos uma solução particular na mesma forma.
Passo 6
Assumimos que
, onde
e
são constantes a serem determinados. Vamos substituir
e suas derivadas na equação original.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Passo 8
Substituindo
e
na equação
:
Simplificando:
Passo 9
Encontramos que essa tentativa não funciona porque os termos se anulam, indicando que nossa suposição para
está na forma da solução homogênea. Nesse caso, precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular adequada.
Passo 10
Tentamos então
. Vamos calcular as derivadas e substituir na equação original.
Passo 11
Calculando as derivadas:
Passo 12
Substituindo
e
na equação:
Simplificando os termos:
Passo 13
Agora, igualamos os coeficientes das funções trigonométricas dos dois lados:
Passo 14
Com
e
, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.