Encontre a solução geral para
y^prime prime+25 y=6 sen(5 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial y'' + 25y = 6 sin(5x) . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer a teoria das equações diferenciais homogêneas e particulares, além de ter uma noção de funções trigonométricas e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: y'' + 25y = 0 . Isso significa que estamos procurando soluções que satisfazem essa equação sem o termo não homogêneo (ou seja, sem o 6 sin(5x) ).

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma y = e^rx . Substituindo na equação homogênea:
r^2 e^rx + 25 e^rx = 0 implies e^rx(r^2 + 25) = 0
Como e^rx nunca é zero, temos r^2 + 25 = 0 , ou seja, r = pm 5i .

Passo 4

Os valores de r são complexos, então a solução geral da parte homogênea é:
yh(x) = C1 cos(5x) + C2 sin(5x)
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(x) para a equação completa y'' + 25y = 6 sin(5x) . Como o lado direito é uma função trigonométrica sin(5x) , tentaremos uma solução particular na mesma forma.

Passo 6

Assumimos que yp(x) = A cos(5x) + B sin(5x) , onde A e B são constantes a serem determinados. Vamos substituir yp e suas derivadas na equação original.

Passo 7

Calculamos as derivadas de yp :
yp' = -5A sin(5x) + 5B cos(5x) yp'' = -25A cos(5x) - 25B sin(5x)

Passo 8

Substituindo yp e yp'' na equação y'' + 25y = 6 sin(5x) :
(-25A cos(5x) - 25B sin(5x)) + 25(A cos(5x) + B sin(5x)) = 6 sin(5x)
Simplificando:
0 cdot cos(5x) + 0 cdot sin(5x) = 6 sin(5x)

Passo 9

Encontramos que essa tentativa não funciona porque os termos se anulam, indicando que nossa suposição para yp(x) está na forma da solução homogênea. Nesse caso, precisamos multiplicar por x para encontrar uma solução particular adequada.

Passo 10

Tentamos então yp(x) = x(A cos(5x) + B sin(5x)) . Vamos calcular as derivadas e substituir na equação original.

Passo 11

Calculando as derivadas:
yp' = A cos(5x) + B sin(5x) + x(-5A sin(5x) + 5B cos(5x)) yp'' = -10A sin(5x) + 10B cos(5x) + x(-25A cos(5x) - 25B sin(5x))

Passo 12

Substituindo yp e yp'' na equação:
[-10A sin(5x) + 10B cos(5x) -25Ax cos(5x) -25Bx sin(5x)] + 25[x(A cos(5x) + B sin(5x))] = 6 sin(5x)
Simplificando os termos:
-10A sin(5x) + 10B cos(5x) = 6 sin(5x)

Passo 13

Agora, igualamos os coeficientes das funções trigonométricas dos dois lados:
-10A = 6 implies A = -610 = -35 10B = 0 implies B = 0

Passo 14

Com A = -35 e B = 0 , a solução particular é:
yp(x) = x(-35 cos(5x)) = -35x cos(5x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 cos(5x) + C2 sin(5x) - 35x cos(5x)
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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