Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=-x e^4 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 4y = -x e^4x
O conteúdo é EDO linear com segundo membro do tipo P(x)e^alpha x. Vamos usar o método da solução complementar (equação característica) e dos coeficientes indeterminados para a parte particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução complementar yc resolvendo a equação característica
r^2 + 4r + 4 = 0,
que fatoriza como (r+2)^2=0, dando uma raiz dupla r=-2. Logo
yc = l(C1 + C2,xr)e^-2x

Passo 3

Para a parte particular yp, o segundo membro é -x e^4x. Como alpha=4 não é raiz da característica, fazemos o palpite
yp = (A x + B)e^4x,
onde A e B são coeficientes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp = (A x + B)e^4x,
yp' = l(4A x + 4B + Ar)e^4x,
yp'' = l(16A x + 16B + 8Ar)e^4x

Passo 5

Substituímos em y'' + 4y' + 4y:
yp'' + 4yp' + 4yp = l(16A x + 16B + 8Ar)e^4x +4l(4A x + 4B + Ar)e^4x +4l(A x + Br)e^4x,
que, ao agrupar, fica
l(36A,x + (12A + 36B)r)e^4x
Isso deve ser igual a -x e^4x, gerando o sistema
36A = -1, 12A + 36B = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema:
A = -136, 36B = -12A = 1236 ;Longrightarrow; B = 1108
Assim
yp = l(-x36 + 1108r)e^4x

Passo 7

A solução geral é a soma de yc com yp:
y = l(C1 + C2,xr)e^-2x + l(-x36 + 1108r)e^4x

Resposta

y = l(C1 + C2,xr)e^-2x + l(-x36 + 1108r)e^4x

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