Em cada caso abaixo, expresse a(s) condição(ões) dadas em termos de equações ou inequações envolvendo valores absolutos e determine os respectivos conjuntos-solução
a) x está mais próximo de 5 do que de 2
b) A diferença entre as distâncias de x a -2 e 3 é exatamente igual a 5
c) A distância entre x e 1 não supera 3 e x está mais perto de 6 do que de -8

Passo 1

O enunciado pede, em cada item, que traduzamos condições de “proximidade” e de “distância” em equações ou inequações com valor absoluto e, a seguir, achemos o conjunto-solução. O conteúdo usado aqui é resolução de inequações e equações envolvendo valor absoluto, recorrendo a manipulações algébricas (elevar ao quadrado quando for inequação entre absolutas) e análise por casos.

Passo 2

a) “ x está mais próximo de 5 do que de 2” traduz-se em
lvert x - 5rvert < lvert x - 2rvert
Elevando ao quadrado (mantendo o sentido da inequação pois ambas as expressões são não negativas):
(x-5)^2 < (x-2)^2 Longrightarrow x^2 -10x +25 < x^2 -4x +4 Longrightarrow -10x +25 < -4x +4
Longrightarrow -6x < -21 Longrightarrow x > tfrac216 = tfrac72

Passo 3

b) “A diferença entre as distâncias de x a -2 e a 3 é exatamente igual a 5” vira
llvert,lvert x+2rvert - lvert x-3rvertrrvert = 5
Vamos analisar nos três intervalos críticos x<-2, -2<= x<3 e x>=3:
Caso 1: x<-2
lvert x+2rvert = -x-2, lvert x-3rvert = 3-x,
llvert(-x-2)-(3-x)rrvert = lvert -5rvert =5,
portanto todo x<-2 satisfaz.
Caso 2: -2<= x<3
lvert x+2rvert = x+2, lvert x-3rvert = 3-x,
llvert(x+2)-(3-x)rrvert = lvert 2x-1rvert =5 Longrightarrow 2x-1 = pm5
2x-1=5Rightarrow x=3(fora de x<3), 2x-1=-5Rightarrow x=-2(válido) á
Caso 3: x>=3
lvert x+2rvert = x+2, lvert x-3rvert = x-3,
llvert(x+2)-(x-3)rrvert = lvert5rvert =5,
logo todo x>=3 satisfaz.
Juntando, a solução é
(-infty,-2];cup;[3,infty)

Passo 4

c) Duas condições:
  1. “A distância entre x e 1 não supera 3”
lvert x-1rvert <= 3 Longrightarrow -3 <= x-1 <= 3 Longrightarrow -2 <= x <= 4
  1. x está mais perto de 6 do que de -8
lvert x-6rvert < lvert x+8rvert Longrightarrow (x-6)^2 < (x+8)^2
x^2 -12x +36 < x^2 +16x +64 Longrightarrow -28x < 28 Longrightarrow x > -1
Intersectando -2<= x<=4 com x>-1 ficamos com
-1 < x <= 4

Resposta

a) l(tfrac72,inftyr)
b) (-infty,-2];cup;[3,infty)
c) (-1,4]

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