Para cada uma das seguintes expressões encontrar os valores de x para os quais são soluções.
(b) |x-2|-|x-1|=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com valores absolutos
|x-2|-|x-1|=0,
ou seja, encontrar todos os xinR tais que a distância de x a 2 seja igual à distância de x a 1. Vamos usar resolução por partes, dividindo a reta nos pontos onde os módulos mudam de expressão, que são x=1 e x=2.

Passo 2

Definimos os três intervalos determinados pelos pontos críticos:
  1. x<1
  2. 1<= x<2
  3. x>=2
    Em cada intervalo, removemos os sinais de módulo trocando-os pelo sinal apropriado, e então resolvemos a equação resultante.

Passo 3

Intervalo x>=2:
Neste caso x-2>=0 e x-1>=0, logo
|x-2| = x-2, |x-1| = x-1
A equação fica
(x-2)-(x-1)=0 Longrightarrow x-2-x+1=0 Longrightarrow -1=0,
que é impossível. Portanto não há solução em x>=2.

Passo 4

Intervalo 1<= x<2:
Aqui x-2<0 e x-1>=0, logo
|x-2| = 2-x, |x-1| = x-1
A equação torna-se
(2-x)-(x-1)=0 Longrightarrow 2-x-x+1=0 Longrightarrow 3-2x=0 Longrightarrow x=tfrac32
Verificamos que tfrac32 está de fato entre 1 e 2, então é solução válida.

Passo 5

Intervalo x<1:
Aqui x-2<0 e x-1<0, logo
|x-2| = 2-x, |x-1| = 1-x
A equação fica
(2-x)-(1-x)=0 Longrightarrow 2-x-1+x=0 Longrightarrow 1=0,
que não admite solução. Portanto não há solução em x<1.

Resposta

A única solução é
x=tfrac32

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