Em cada caso abaixo, verifique se a sequência dada pelo seu termo geral é convergente ou divergente.
(a)n=n^22 n-1-n^22 n+1

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência de termo geral
an = n^22n-1 ;-;n^22n+1
e pede para verificar se ela é convergente ou divergente. O conteúdo é estudo de limites de sequências: para isso, vamos calcular
limntoinftyan.

Passo 2

Para simplificar an, colocamos as duas frações sobre um mesmo denominador:
an = n^2(2n+1);-;n^2(2n-1)(2n-1)(2n+1) = 2,n^24n^2-1

Passo 3

Agora escrevemos o quociente de forma a evidenciar o comportamento em ntoinfty, fatorando n^2 no denominador:
an = 2,n^2n^2l(4 - tfrac1n^2r) = 24 - 1n^2

Passo 4

Como tfrac1n^2to0 quando ntoinfty, o valor de an tende a
limntoinftyan = 24 - 0 = 12
Portanto o limite existe e é finito, o que garante que a sequência é convergente.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = tfrac12

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