Em cada caso abaixo, verifique se a sequência dada pelo seu termo geral é convergente ou divergente.
(a)n=n^nn!

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da sequência (an) cujo termo geral é
an = n^nn!
O conteúdo envolvido é o estudo de limntoinftyan. Para isso podemos usar a razão de termos vizinhos ou, alternativamente, a fórmula de Stirling para n!.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)^n+1(n+1)!n^nn! = (n+1)^n+1n^n,(n+1) = l(n+1nr)^n = l(1+1nr)^n
Como limntoinfty(1+tfrac1n)^n=e>1, a razão an+1/an tende a um valor maior que 1, o que indica que os termos crescem sem limite.

Passo 3

Para confirmar, usemos a aproximação de Stirling
n! sim n^n e^-nraiz2pi n
Então
an = n^nn! sim n^nn^n e^-nraiz2pi n = e^nraiz2pi n
Evidentemente
limntoinftye^nraiz2pi n = +infty,
logo anto+infty.

Resposta

A sequência é divergente, pois limntoinftyan = +infty.

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