Nos exercícios 1-12 : (a) encontre o domínio da função; (b) encontre a imagem da função; (c) descreva as curvas de nível da função; (d) encontre a fronteira do domínio da função; (e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas; (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
f(x, y)=e^-(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x,y)=e^-l(x^2+y^2r),
que a gente encontre:
(a) o domínio; (b) a imagem; (c) as curvas de nível; (d) a fronteira do domínio; (e) se o domínio é região aberta, fechada ou nenhuma; (f) se o domínio é limitado ou não.

Passo 2

Para (a) domínio: a expressão e^-l(x^2+y^2r) é bem definida para todo par (x,y) real, pois polinômios e exponenciais não dão problema de validade. Logo
Dom(f)=R^2

Passo 3

Para (b) imagem: note que x^2+y^2>=0 sempre, então
f(x,y)=e^-l(x^2+y^2r)in(0,1]
O máximo vale 1 em (0,0) e, quando x^2+y^2toinfty, f(x,y)to0 sem nunca atingir zero. Assim
Im(f)=(0,1]

Passo 4

Para (c) curvas de nível f(x,y)=c:
e^-l(x^2+y^2r)=c Long<=ftrightarrow x^2+y^2=-ln c
Como só faz sentido para c>0, e sabendo que c<=1, cada nível cin(0,1] é a circunferência de raio raiz-ln c centrada na origem. Para c=1 isso reduz ao ponto (0,0).

Passo 5

Para (d) fronteira do domínio: como Dom(f)=R^2 ocupa todo o plano, não há “borda” dentro de R^2. Logo
partiall(Dom(f)r)=emptyset

Passo 6

Para (e) e (f):
– O conjunto R^2 é aberto em si mesmo (e aliás também é fechado), mas no sentido de “região” usual ele é uma região aberta.
– Como R^2 se estende até o infinito, ele é não limitado.

Resposta

(a) R^2
(b) (0,1]
(c) curvas de nível f(x,y)=c são as circunferências
(x,y)mid x^2+y^2=-ln c para cin(0,1], e para c=1 o ponto (0,0).
(d) partial(Dom(f))=emptyset
(e) domínio é região aberta
(f) domínio é não limitado

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