Nos exercícios
: (a) encontre o domínio da função; (b) encontre a imagem da função; (c) descreva as curvas de nível da função; (d) encontre a fronteira do domínio da função; (e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas; (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente encontre:
(a) o domínio; (b) a imagem; (c) as curvas de nível; (d) a fronteira do domínio; (e) se o domínio é região aberta, fechada ou nenhuma; (f) se o domínio é limitado ou não.
(a) o domínio; (b) a imagem; (c) as curvas de nível; (d) a fronteira do domínio; (e) se o domínio é região aberta, fechada ou nenhuma; (f) se o domínio é limitado ou não.
Passo 2
Para (a) domínio: a expressão
é bem definida para todo par
real, pois polinômios e exponenciais não dão problema de validade. Logo
Passo 3
Para (b) imagem: note que
sempre, então
O máximo vale
em
e, quando
,
sem nunca atingir zero. Assim
Passo 4
Para (c) curvas de nível
:
Como só faz sentido para
, e sabendo que
, cada nível
é a circunferência de raio
centrada na origem. Para
isso reduz ao ponto
.
Passo 5
Para (d) fronteira do domínio: como
ocupa todo o plano, não há “borda” dentro de
. Logo
Passo 6
Para (e) e (f):
– O conjunto é aberto em si mesmo (e aliás também é fechado), mas no sentido de “região” usual ele é uma região aberta.
– Como se estende até o infinito, ele é não limitado.
– O conjunto
– Como
Resposta
(a)
(b)
(c) curvas de nível são as circunferências
para
, e para
o ponto
.
(d)
(e) domínio é região aberta
(f) domínio é não limitado
(b)
(c) curvas de nível
(d)
(e) domínio é região aberta
(f) domínio é não limitado