Em cada caso abaixo, verifique se a sequência dada pelo seu termo geral é convergente ou divergente.
(a)n=2^nn!

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência cujo termo geral é
an = 2^nn!
e decidir se ela é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é análise de sequência usando o teste da razão ou comparação de crescimento entre exponencial e fatorial.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão, que compara an+1 com an. Calculamos
an+1an = tfrac2^n+1(n+1)!tfrac2^nn! = 2^n+12^ncdotn!(n+1)! = 2n+1
À medida que ntoinfty, temos
limntoinftyan+1an = limntoinfty2n+1 = 0

Passo 3

O teste da razão diz que, se
limntoinftyan+1an < 1,
então limntoinftyan = 0. Como aqui o limite da razão é 0<1, concluímos que
limntoinftyan = 0,
ou seja, a sequência converge.

Resposta

A sequência l(anr) é convergente e seu limite é 0.

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