Em cada caso abaixo, verifique se a sequência dada pelo seu termo geral é convergente ou divergente.
(a)n=1.3 5 ldots(2 n-1)n!2^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an=1cdot 3cdot 5cdots(2n-1)n!,2^n
O assunto envolve fatoriais, duplo fatorial e técnicas de assíntota (Stirling) para obter o limite.

Passo 2

Repare que o produto dos ímpares até 2n-1 é o duplo fatorial (2n-1)!!. Há a relação
(2n)! ;=;2^n,n!,(2n-1)!! Longrightarrow (2n-1)!! ;=;(2n)!2^n,n!
Substituindo em an vem
an =(2n-1)!!n!,2^n =;(2n)!/(2^n,n!);n!,2^n =(2n)!n!^2,4^n =binom2nn4^n

Passo 3

Para obter limntoinftyan usamos a fórmula de Stirling
n!simraiz2pi n,l(ner)^n
Com isso
binom2nn =(2n)!(n!)^2 simraiz4pi n,(2n/e)^2nl(raiz2pi n,(n/e)^nr)^2 =4^nraizpi n
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an =binom2nn4^n sim1raizpi n Longrightarrow anto 0

Resposta

A sequência é convergente e
limntoinftyan=0

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