Em cada caso abaixo, verifique se a sequência dada pelo seu termo geral é convergente ou divergente.
(a)n=n2^n-(-1)^nn

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
an = n2^n ;-;(-1)^nn
é convergente ou divergente. Vamos usar duas ideias principais: (i) mostrar que cada parcela convergente tem limite bem-definido e (ii) usar que a diferença de duas sequências convergentes também converge para a diferença dos limites.

Passo 2

Considere a sequência
xn = n2^n
Para ver que xnto0, aplique o teste da razão:
xn+1xn = n+12^n+1n2^n = n+12n ;xrightarrow[ntoinfty];12<1
Como a razão limite é menor que 1, conclui-se que limntoinftyxn=0.

Passo 3

Agora considere
yn = (-1)^nn
Note que lvert ynrvert = 1/n e sabemos que
limntoinfty1n = 0
Pelo teorema do confronto, lvert ynrvertto0 implica ynto0.

Passo 4

Como an = xn - yn e ambos xn e yn convergem para 0, pelo teorema das operações com limites temos
limntoinftyan = limntoinftyxn ;-;limntoinftyyn = 0 - 0 = 0
Logo, (an) é convergente.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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