Marque V para verdadeiro ou F para falso. Justifique as alternativas falsas com um contraexemplo.
Se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge.
Se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge.
Passo 1
O enunciado nos pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e, em caso de ser falsa, dar um contraexemplo.
Conteúdo: convergência de sequências em e subsequências. Lembra que uma sequência
converge para
se, para todo
, existe
tal que
sempre que
.
Conteúdo: convergência de sequências em
Passo 2
A afirmação “Se uma sequência possui uma subsequência convergente, então ela própria converge” é falsa. Ter uma única subsequência que converge não força o comportamento de todos os termos da sequência; esses termos podem oscilar ou tender a outro limite.
Passo 3
Contraexemplo: seja a sequência
Então a subsequência dos índices pares,
converge para
. Porém a sequência completa
não converge, pois ela oscila entre
e
e não existe um único
tal que
para todo
grande o suficiente.
Resposta
F