Marque V para verdadeiro ou F para falso. Justifique as alternativas falsas com um contraexemplo.
Se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge.

Passo 1

O enunciado nos pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e, em caso de ser falsa, dar um contraexemplo.
Conteúdo: convergência de sequências em R e subsequências. Lembra que uma sequência (xn) converge para L se, para todo varepsilon>0, existe N tal que lvert xn - Lrvert<varepsilon sempre que n>= N.

Passo 2

A afirmação “Se uma sequência possui uma subsequência convergente, então ela própria converge” é falsa. Ter uma única subsequência que converge não força o comportamento de todos os termos da sequência; esses termos podem oscilar ou tender a outro limite.

Passo 3

Contraexemplo: seja a sequência
an = (-1)^n
Então a subsequência dos índices pares,
a2k = (-1)^2k = 1,
converge para 1. Porém a sequência completa (an) não converge, pois ela oscila entre 1 e -1 e não existe um único L tal que lvert an - Lrvert<varepsilon para todo n grande o suficiente.

Resposta

F

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