Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional:
ao mover uma partícula de massa
do ponto
para o ponto
ao longo da curva suave por partes C .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o trabalho realizado pelo campo gravitacional definido por
ao mover uma partícula de massa
do ponto
para o ponto
ao longo de uma curva suave por partes
. Isso envolve conceitos de trabalho de uma força e campos conservativos da física, onde vamos precisar entender como calcular o trabalho usando integrais e propriedades do campo gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
realizado por uma força ao mover um objeto ao longo de uma curva
é dado por:
Mas como o campo gravitacional é um campo conservativo, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Isso simplifica bastante as coisas!
Passo 3
Sabendo que o campo é conservativo, podemos relacionar o trabalho ao potencial gravitacional
. A relação é:
onde
é o potencial no ponto inicial
e
é o potencial no ponto final
.
Passo 4
O potencial gravitacional
em um ponto
é dado por:
Então, vamos calcular
e
, que são as distâncias dos pontos
e
até a origem.
Passo 5
Calculando a magnitude de
:
E para
:
Passo 6
Agora, aplicando no potencial:
Passo 7
Substituindo esses valores na fórmula do trabalho:
Passo 8
Para simplificar, podemos fatorar
:
Se quiser deixar assim está ótimo, mas podemos também calcular um valor numérico se tivermos os valores de
,
e
. Como não temos esses valores, deixamos a expressão final dessa forma.
Resposta
O trabalho realizado pelo campo gravitacional é: