Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional:
F(x)=-G m M|x|^3 x
ao mover uma partícula de massa m do ponto (3,4,12) para o ponto (2,2,0) ao longo da curva suave por partes C .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o trabalho realizado pelo campo gravitacional definido por F(x) = -G m M|x|^3 x ao mover uma partícula de massa m do ponto (3,4,12) para o ponto (2,2,0) ao longo de uma curva suave por partes C . Isso envolve conceitos de trabalho de uma força e campos conservativos da física, onde vamos precisar entender como calcular o trabalho usando integrais e propriedades do campo gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho W realizado por uma força ao mover um objeto ao longo de uma curva C é dado por:
W = integralC F cdot dr
Mas como o campo gravitacional é um campo conservativo, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Isso simplifica bastante as coisas!

Passo 3

Sabendo que o campo é conservativo, podemos relacionar o trabalho ao potencial gravitacional U . A relação é:
W = U(A) - U(B)
onde U(A) é o potencial no ponto inicial A = (3,4,12) e U(B) é o potencial no ponto final B = (2,2,0) .

Passo 4

O potencial gravitacional U em um ponto x é dado por:
U(x) = -G m M|x|
Então, vamos calcular |A| e |B| , que são as distâncias dos pontos A e B até a origem.

Passo 5

Calculando a magnitude de A = (3,4,12) :
|A| = raiz3^2 + 4^2 + 12^2 = raiz9 + 16 + 144 = raiz169 = 13
E para B = (2,2,0) :
|B| = raiz2^2 + 2^2 + 0^2 = raiz4 + 4 + 0 = raiz8 = 2raiz2

Passo 6

Agora, aplicando no potencial:
U(A) = -G m M13
U(B) = -G m M2raiz2

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula do trabalho:
W = U(A) - U(B) = ( -G m M13 ) - ( -G m M2raiz2 ) = G m M2raiz2 - G m M13

Passo 8

Para simplificar, podemos fatorar G m M :
W = G m M ( 12raiz2 - 113 )
Se quiser deixar assim está ótimo, mas podemos também calcular um valor numérico se tivermos os valores de G , m e M . Como não temos esses valores, deixamos a expressão final dessa forma.

Resposta

O trabalho realizado pelo campo gravitacional é:
W = G m M ( 12raiz2 - 113 )

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