Em cada caso, ache a equação da circunferência determinada pelas condições dadas:
Centro na reta y=3x e tangente à reta x=2y no ponto (2,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma circunferência cujo centro está sobre a reta y=3x e que é tangente à reta x=2y exatamente no ponto T=(2,1). O conteúdo envolve geometria analítica: usar a condição de que o vetor raio é perpendicular à reta tangente e a distância centro–ponto tangência dá o raio.

Passo 2

Seja C=(h,k) o centro da circunferência. Como C está em y=3x, temos
k = 3h

Passo 3

A reta tangente é x=2y, ou seja,
x - 2y = 0
Nela, o coeficiente angular é mell=tfrac12. Como o raio até T deve ser perpendicular a essa reta, o coeficiente angular do segmento CT é
mCT = -1mell = -2
A reta que passa por T=(2,1) com coeficiente angular -2 satisfaz
k - 1 = -2l(h - 2r) Longrightarrow k = -2h + 5

Passo 4

Igualando as duas expressões para k,
3h = -2h + 5 Longrightarrow 5h = 5 Longrightarrow h = 1,
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k = 3h = 3
Assim, o centro é C=(1,3).

Passo 5

O raio r é a distância entre C e T:
r = raiz(2-1)^2 + (1-3)^2 = raiz1 + 4 = raiz5

Passo 6

A equação da circunferência de centro (1,3) e raio raiz5 é
(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5

Resposta

(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5

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