Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando o teste de comparação ou o teste da comparação no limite. O conteúdo que vamos usar é o comportamento assintótico de
para
e o fato de que a série
é convergente (série
com
).
Passo 2
Para aplicar o teste da comparação no limite, escolhemos
cuja série
converge. Vamos calcular
Passo 3
Fatorando cada termo em potências de
:
Substituindo em
:
Passo 4
Tomando
em cada fator, obtemos
Como
, o teste da comparação no limite diz que
e
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Passo 5
Sabemos que
converge (série
com
). Logo, pela comparação no limite,
também converge.
Resposta
A série converge.