Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
sumn=1^infty (2 n-1)(n^2-1)(n+1)(n^2+4)^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty an, an = (2n-1)(n^2-1)(n+1)(n^2+4)^2,
usando o teste de comparação ou o teste da comparação no limite. O conteúdo que vamos usar é o comportamento assintótico de an para ntoinfty e o fato de que a série sum 1/n^2 é convergente (série p com p=2>1).

Passo 2

Para aplicar o teste da comparação no limite, escolhemos
bn = 1n^2,
cuja série sum bn converge. Vamos calcular
L = limntoinftyanbn = limntoinfty dfrac(2n-1)(n^2-1)(n+1)(n^2+4)^2dfrac1n^2 = limntoinfty (2n-1)(n^2-1),n^2(n+1)(n^2+4)^2,

Passo 3

Fatorando cada termo em potências de n:
2n-1 = nl(2 - tfrac1nr), n^2-1 = n^2l(1 - tfrac1n^2r), n+1 = nl(1 + tfrac1nr),
n^2+4 = n^2l(1 + tfrac4n^2r) ;Longrightarrow; (n^2+4)^2 = n^4l(1 + tfrac4n^2r)^2
Substituindo em L:
L = limntoinfty nl(2 - tfrac1nr);cdot;n^2l(1 - tfrac1n^2r);cdot;n^2 nl(1 + tfrac1nr);cdot;n^4l(1 + tfrac4n^2r)^2 = limntoinfty (2 - tfrac1n),(1 - tfrac1n^2)(1 + tfrac1n),(1 + tfrac4n^2)^2

Passo 4

Tomando ntoinfty em cada fator, obtemos
L = 2cdot 11cdot 1 = 2
Como 0 < L < infty, o teste da comparação no limite diz que sum an e sum bn têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.

Passo 5

Sabemos que sumn=1^infty tfrac1n^2 converge (série p com p=2>1). Logo, pela comparação no limite, sumn=1^inftyan também converge.

Resposta

A série converge.

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