Dado
, existe exatamente uma reta tangente à parábola de equação
, em que
é constante.
Passo 1
O enunciado nos dá a parábola de equação
com
constante, e pede para mostrarmos que, fixado um declive
, existe exatamente uma reta tangente a essa parábola com esse declive.
Passo 2
Escrevemos a equação geral de uma reta de declive
como
onde
é o coeficiente a determinar para que a reta seja tangente.
Passo 3
Para achar as interseções entre a reta e a parábola, substituímos
em
:
Passo 4
Essa é uma equação quadrática em
. Para que haja tangência, devemos ter uma única solução (raiz dupla), ou seja, o discriminante
deve ser zero.
Passo 5
Calculamos o discriminante:
Impondo
, vem
Passo 6
Portanto, para cada declive
há exatamente um valor de
, dado por
, que faz a reta ser tangente. A reta procurada é
Resposta
A reta tangente à parábola
com declive
é
e é única para cada
.