Dado m, existe exatamente uma reta tangente à parábola de equação x^2=4py, em que p é constante.

Passo 1

O enunciado nos dá a parábola de equação
x^2=4p,y
com p constante, e pede para mostrarmos que, fixado um declive m, existe exatamente uma reta tangente a essa parábola com esse declive.

Passo 2

Escrevemos a equação geral de uma reta de declive m como
y = m,x + c,
onde c é o coeficiente a determinar para que a reta seja tangente.

Passo 3

Para achar as interseções entre a reta e a parábola, substituímos y em x^2=4p,y:
x^2 = 4p,(m,x + c) Longrightarrow x^2 - 4p,m,x - 4p,c = 0

Passo 4

Essa é uma equação quadrática em x. Para que haja tangência, devemos ter uma única solução (raiz dupla), ou seja, o discriminante De<a deve ser zero.

Passo 5

Calculamos o discriminante:
De<a = ( -4p,m )^2 - 4cdot1cdot(-4p,c) = 16p^2m^2 + 16p,c
Impondo De<a=0, vem
16p^2m^2 + 16p,c = 0 Longrightarrow c = -p,m^2

Passo 6

Portanto, para cada declive m há exatamente um valor de c, dado por c=-p,m^2, que faz a reta ser tangente. A reta procurada é
y = m,x - p,m^2

Resposta

A reta tangente à parábola x^2=4p,y com declive m é
boxedy = m,x - p,m^2,
e é única para cada m.

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