Mostre que duas retas que passam por um ponto
da diretriz
e são tangentes à parábola
, são perpendiculares em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um ponto
sobre a diretriz
da parábola
as duas retas que passam por
e são tangentes à parábola são perpendiculares em
.
Conteúdo: geometria analítica de cônicas; condição de tangência obtida via discriminante de um polinômio.
Conteúdo: geometria analítica de cônicas; condição de tangência obtida via discriminante de um polinômio.
Passo 2
Seja
. Qualquer reta de coeficiente angular
que passe por
pode ser escrita em forma ponto-inclinação:
ou seja, em forma inclinada
Passo 3
Para que essa reta seja tangente à parábola, substituímos
em
e exigimos que o polinômio resultante em
tenha discriminante zero.
Substituindo:
Substituindo:
O discriminante é
Impondo
obtém-se
Passo 4
A equação
é o polinômio cujas raízes
são exatamente os coeficientes angulares das duas tangentes de
. Pelo teorema de Viète, o produto dessas raízes é
Logo
, o que significa que as duas retas são perpendiculares em
.
Resposta
As duas retas tangentes saindo de
têm coeficientes angulares
e
com
, portanto são perpendiculares.