Mostre que duas retas que passam por um ponto P da diretriz y=-p e são tangentes à parábola x^2=4py, são perpendiculares em P.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um ponto P sobre a diretriz y=-p da parábola
x^2=4py,
as duas retas que passam por P e são tangentes à parábola são perpendiculares em P.
Conteúdo: geometria analítica de cônicas; condição de tangência obtida via discriminante de um polinômio.

Passo 2

Seja P=(x0,-p). Qualquer reta de coeficiente angular m que passe por P pode ser escrita em forma ponto-inclinação:
y + p = m,(x - x0),
ou seja, em forma inclinada
y = m,x - m,x0 - p

Passo 3

Para que essa reta seja tangente à parábola, substituímos y em x^2=4p,y e exigimos que o polinômio resultante em x tenha discriminante zero.
Substituindo:
x^2=4pl(m,x - m,x0-pr) ;Longrightarrow; x^2-4p,m,x +4p,(m,x0+p)=0
O discriminante é
De<a=(4p,m)^2-4cdot1cdot4p,(m,x0+p) =16p^2m^2-16p,(m,x0+p) =16pl(p,m^2-x0m-pr)
Impondo De<a=0 obtém-se
p,m^2-x0m-p=0

Passo 4

A equação
p,m^2-x0m-p=0
é o polinômio cujas raízes m1,m2 são exatamente os coeficientes angulares das duas tangentes de P. Pelo teorema de Viète, o produto dessas raízes é
m1m2=-pp=-1
Logo m1m2=-1, o que significa que as duas retas são perpendiculares em P.

Resposta

As duas retas tangentes saindo de P têm coeficientes angulares m1 e m2 com m1m2=-1, portanto são perpendiculares.

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