Em cada caso, avalie se a integral é divergente ou convergente:
integral1^+infty cos ^2(x)1+x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
integral1^+infty cos^2(x)1 + x^2,dx
é convergente ou divergente. O conteúdo principal é análise de convergência de integrais impróprias usando testes de comparação.

Passo 2

Note que cos^2(x) satisfaz
0 <= cos^2(x) <= 1
para todo x. Dividindo por 1+x^2>0, obtemos
0 <= cos^2(x)1+x^2 <= 11+x^2

Passo 3

A integral de comparação
integral1^+infty 11+x^2,dx
é conhecida:
integral1^+infty 11+x^2,dx = limRto+inftyl[arctan(x)r]1^R = pi2-pi4 = pi4,
ou seja, é convergente.

Passo 4

Pela comparação direta, como
0 <= cos^2(x)1+x^2 <= 11+x^2
e integral1^+infty1/(1+x^2),dx converge, concluímos que
integral1^+infty cos^2(x)1 + x^2,dx
também converge.

Resposta

A integral é convergente.

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