Em cada caso, avalie se a integral é divergente ou convergente:
integral2^0 d rraiz1-r^2.

Passo 1

O enunciado pede para a gente julgar se a integral imprópria integral2^0drraiz1-r^2 converge ou diverge. O conteúdo é análise de integrais impróprias, onde temos que ficar de olho em pontos em que a função não esteja contínua ou nem definida.

Passo 2

Para simplificar, invertemos os limites de integração usando integrala^bf = -integralb^af. Assim
integral2^0drraiz1-r^2 = -integral0^2drraiz1-r^2
No intervalo [0,2] a função f(r)=1/raiz1-r^2 apresenta dois problemas:
- Em r=1 temos singularidade, pois raiz1-1^2=0 no denominador.
- Para r>1 o radicando 1-r^2 fica negativo, logo f(r) não é real.

Passo 3

Isso indica que precisamos quebrar em duas integrais impróprias:
integral0^2drraiz1-r^2 = integral0^1drraiz1-r^2 + integral1^2drraiz1-r^2
A parte de 0 até 1 podemos calcular:
integral0^1drraiz1-r^2 = l[arcsin(r)r]0^1 = pi2
Porém a parte de 1 até 2 nem faz sentido no contexto de integrais reais, pois f(r) não é definida como real em (1,2]. Além disso em r=1 há uma descontinuidade não removível. Portanto essa segunda parcela diverge.

Passo 4

Como uma das parcelas é divergente, a integral total também diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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