Em cada caso, calcule o comprimento do arco gamma indicado:
(f) gamma: x=12 t^2+t, y=12 t^2-t, 0 <= t <= 1.
(resp. 1-raiz22 ln (raiz2-1) )

Passo 1

Na questão, temos a curva paramétrica γ dada por x= tfrac12t^2+t, y= tfrac12t^2-t para 0≤t≤1. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva paramétrica e vamos usar a fórmula L=integrala^braiz(x'(t))^2+(y'(t))^2,dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas: x'(t)=t+1 e y'(t)=t-1. Então
(x'(t))^2+(y'(t))^2=(t+1)^2+(t-1)^2=2t^2+2=2(t^2+1)
e daí o elemento de comprimento fica ds=raiz2(t^2+1),dt=raiz2,raizt^2+1,dt.

Passo 3

O comprimento é então
L=integral0^1raiz2,raizt^2+1,dt=raiz2integral0^1raizt^2+1,dt

Passo 4

Para integrar usamos a primitiva conhecida
integralraizt^2+1,dt=t2raizt^2+1+12lnl(t+raizt^2+1r)

Passo 5

Avaliando de 0 a 1:
integral0^1raizt^2+1,dt=12raiz2+12ln(1+raiz2)-0

Passo 6

Multiplicando por raiz2 obtemos
L=raiz2l(tfracraiz22+tfrac12ln(1+raiz2)r)=1+raiz22ln(1+raiz2)

Passo 7

Como ln(1+raiz2)=-ln(raiz2-1), fica
L=1-raiz22ln(raiz2-1)

Resposta

1-tfracraiz22ln(raiz2-1)

Exercícios relacionados