Em cada caso, calcule as deriva das parciais
e
.
Passo 1
Neste exercício vamos encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
f(x,y)=sin(xy)+log(x^{2}y). O conteúdo envolvido é derivada parcial, regra da cadeia, derivada de sin e derivada de log. Para resolver, vamos aplicar a regra da soma, cadeia e propriedades de log (log(x^{2}y)=2log x+log y).
f(x,y)=sin(xy)+log(x^{2}y). O conteúdo envolvido é derivada parcial, regra da cadeia, derivada de sin e derivada de log. Para resolver, vamos aplicar a regra da soma, cadeia e propriedades de log (log(x^{2}y)=2log x+log y).
Passo 2
Para calcular f_{x}, tratamos y como constante. Usando regra da cadeia em sin(xy):
d/dx[sin(xy)]=cos(xy)·d/dx[x y]=y cos(xy). Para log(x^{2}y) podemos usar log(x^{2}y)=2log x+log y, logo d/dx=2/x. Assim:
f_{x}=y\cos(xy)+\frac{2}{x}.
d/dx[sin(xy)]=cos(xy)·d/dx[x y]=y cos(xy). Para log(x^{2}y) podemos usar log(x^{2}y)=2log x+log y, logo d/dx=2/x. Assim:
f_{x}=y\cos(xy)+\frac{2}{x}.
Passo 3
Para calcular f_{y}, tratamos x como constante. Em sin(xy): d/dy[sin(xy)]=cos(xy)·d/dy[x y]=x cos(xy). Em log(x^{2}y)=2log x+log y, apenas log y depende de y, gerando 1/y. Logo:
f_{y}=x\cos(xy)+\frac{1}{y}.
f_{y}=x\cos(xy)+\frac{1}{y}.
Passo 4
Para f_{xx}, derivamos f_{x}=y cos(xy)+2/x em relação a x. A parte y cos(xy) dá y·(-sin(xy))·d/dx[x y]= -y^{2}\sin(xy). A parte 2/x dá -2/x^{2}. Assim:
f_{xx}=-y{2}\sin(xy)-\frac{2}{x{2}}.
f_{xx}=-y{2}\sin(xy)-\frac{2}{x{2}}.
Passo 5
Para f_{yy}, derivamos f_{y}=x cos(xy)+1/y em relação a y. A parte x cos(xy) gera x·(-sin(xy))·d/dy[x y]= -x^{2}\sin(xy). A parte 1/y dá -1/y^{2}. Logo:
f_{yy}=-x{2}\sin(xy)-\frac{1}{y{2}}.
f_{yy}=-x{2}\sin(xy)-\frac{1}{y{2}}.
Passo 6
Para f_{yx}, derivamos f_{y}=x cos(xy)+1/y em relação a x. Em x cos(xy) temos d/dx=cos(xy)+x·(-sin(xy))·d/dx[x y]=cos(xy)-xy\sin(xy). E 1/y é constante em x. Portanto:
f_{yx}=\cos(xy)-xy\sin(xy).
f_{yx}=\cos(xy)-xy\sin(xy).
Resposta
As derivadas parciais são
f_{x}=y\cos(xy)+\frac{2}{x},
f_{y}=x\cos(xy)+\frac{1}{y},
f_{xx}=-y{2}\sin(xy)-\frac{2}{x{2}},
f_{yy}=-x{2}\sin(xy)-\frac{1}{y{2}},
f_{yx}=\cos(xy)-xy\sin(xy).
f_{x}=y\cos(xy)+\frac{2}{x},
f_{y}=x\cos(xy)+\frac{1}{y},
f_{xx}=-y{2}\sin(xy)-\frac{2}{x{2}},
f_{yy}=-x{2}\sin(xy)-\frac{1}{y{2}},
f_{yx}=\cos(xy)-xy\sin(xy).