Em cada caso, calcule a derivada direcional partial fpartial u.
f(x, y, z)=e^-y sen x+e^-3 y sen(3 x)3+z^2, P=(pi / 3,0,1), u=-12 i+raiz2 j+12 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional de uma função $ f(x, y, z) $ na direção de um vetor $ \vec{u} $ no ponto $ P = \left( \frac{\pi}{3}, 0, 1 \right) $. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função $ f $ e depois fazer o produto escalar desse gradiente com o vetor $ \vec{u} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela mede como a função $ f $ muda na direção de $ \vec{u} $. Para calcular isso, usamos o gradiente de $ f $, que é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função.
A fórmula para a derivada direcional é:
f
Onde $ \nabla f $ é o gradiente de $ f $ e $ \cdot $ representa o produto escalar.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de $ f(x, y, z) $. O gradiente é composto pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a cada variável:
f(x, y, z)
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a $ x $:
f
  1. Derivada parcial em relação a $ y $:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
  1. Derivada parcial em relação a $ z $:
x

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P = \left( \frac{\pi}{3}, 0, 1 \right) $:
  1. Avaliação de $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em $ P $:
P = ( pi3, 0, 1 )
  1. Avaliação de $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em $ P $:
partial fpartial x
  1. Avaliação de $ \frac{\partial f}{\partial z} $ em $ P $:
P
Portanto, o gradiente em $ P $ é:
partial fpartial x|P = e^0 cos(pi3) + e^0 cos(3 cdot pi3) = 1 cdot 12 + 1 cdot cos(pi) = 12 - 1 = -12

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar do gradiente com o vetor $ \vec{u} = \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \right) $:
u = ( -12, raiz22, 12 )
Vamos resolver cada parte:
  1. partial fpartial u = nabla f|P cdot u = ( -12 ) ( -12 ) + ( -raiz32 ) ( raiz22 ) + 2 cdot 12
  2. ( -12 ) ( -12 ) = 14
  3. ( -raiz32 ) ( raiz22 ) = -raiz64
Somando tudo:
2 cdot 12 = 1

Resposta

A derivada direcional de $ f $ na direção de $ \vec{u} $ no ponto $ P $ é:
f

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