Em cada caso, calcule a derivada direcional
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional de uma função $ f(x, y, z) $ na direção de um vetor $ \vec{u} $ no ponto $ P = \left( \frac{\pi}{3}, 0, 1 \right) $. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função $ f $ e depois fazer o produto escalar desse gradiente com o vetor $ \vec{u} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela mede como a função $ f $ muda na direção de $ \vec{u} $. Para calcular isso, usamos o gradiente de $ f $, que é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função.
A fórmula para a derivada direcional é:
Onde $ \nabla f $ é o gradiente de $ f $ e $ \cdot $ representa o produto escalar.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de $ f(x, y, z) $. O gradiente é composto pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a $ x $:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
- Derivada parcial em relação a $ z $:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P = \left( \frac{\pi}{3}, 0, 1 \right) $:
- Avaliação de $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em $ P $:
- Avaliação de $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em $ P $:
- Avaliação de $ \frac{\partial f}{\partial z} $ em $ P $:
Portanto, o gradiente em $ P $ é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar do gradiente com o vetor $ \vec{u} = \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \right) $:
Vamos resolver cada parte:
-
partial fpartial u = nabla f|P cdot u = ( -12 ) ( -12 ) + ( -raiz32 ) ( raiz22 ) + 2 cdot 12 -
( -12 ) ( -12 ) = 14 -
( -raiz32 ) ( raiz22 ) = -raiz64
Somando tudo:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ na direção de $ \vec{u} $ no ponto $ P $ é: