Em cada caso, calcule as derivadas zx, zy, zx x, zy y e zy x.
1.
z=arccos (x y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
z = arccos(xy)
com respeito a x e y, incluindo as segundas derivadas zxx, zyy e a mista zyx.
O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções compostas e a derivada de arccos(u), que é
ddul[arccos(u)r] = -1raiz1-u^2

Passo 2

Para obter zx, tomamos u=xy. Então
zx = ddxl[arccos(u)r] = -1raiz1-u^2cdotpartial upartial x = -1raiz1-(xy)^2cdot y
Analogamente, para zy:
zy = -1raiz1-(xy)^2cdotpartial (xy)partial y = -xraiz1-x^2y^2

Passo 3

Agora calculamos zxx=partialpartial x(zx). Escrevendo
zx = -yl[1-(xy)^2r]^-tfrac12,
aplicamos a regra da cadeia novamente:
zxx = -y cdot l(-tfrac12r)l[1-(xy)^2r]^-tfrac32cdot(-2xy^2) = -x,y^3l[1-x^2y^2r]^-tfrac32

Passo 4

Para zyy=partialpartial y(zy), fazemos
zy = -xl[1-(xy)^2r]^-tfrac12
e obtemos
zyy = -x cdot l(-tfrac12r)l[1-(xy)^2r]^-tfrac32cdot(-2x^2y) = -x^3yl[1-x^2y^2r]^-tfrac32

Passo 5

Por fim, a derivada mista zyx=partialpartial x(zy). Partindo de
zy = -xl[1-(xy)^2r]^-tfrac12,
temos duas parcelas pela regra do produto e da cadeia, que se combinam em
zyx = -1raiz1-x^2y^2 ;-;x^2y^2l[1-x^2y^2r]^-tfrac32 = -l[1-x^2y^2r]^-tfrac32

Resposta

zx = -yraiz1 - x^2y^2, zy = -xraiz1 - x^2y^2,
zxx = -,x,y^3l[1 - x^2y^2r]^-tfrac32, zyy = -,x^3,yl[1 - x^2y^2r]^-tfrac32,
zyx = -l[1 - x^2y^2r]^-tfrac32

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