Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Caso seja, encontre a função potencial associada.
Passo 1
O exercício pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo e, em caso afirmativo, achar sua função potencial. O conteúdo é de campos conservativos em
, usando a condição de igualdade das derivadas parciais e depois integração para obter a potencial.
Passo 2
Identificamos as componentes do campo:
e
. A condição de conservatividade em domínios simplesmente conexos exige
. Calculamos:
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Como
em todo
, e
é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo.
Passo 6
Para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
introduzindo uma função arbitrária
:
Passo 7
Passo 8
Em seguida, igualamos a derivada parcial de
em relação a
a
:
Passo 9
Passo 10
Daí
, logo
, com
constante.
Passo 11
Substituindo de volta, a função potencial geral é
.
Resposta
A função potencial associada é
, com
constante arbitrária.