Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Caso seja, encontre a função potencial associada.
F=2 x y i+(x^2+1) j

Passo 1

O exercício pede para verificar se o campo vetorial F=2xy,i+(x^2+1),j é conservativo e, em caso afirmativo, achar sua função potencial. O conteúdo é de campos conservativos em R^2, usando a condição de igualdade das derivadas parciais e depois integração para obter a potencial.

Passo 2

Identificamos as componentes do campo: P(x,y)=2xy e Q(x,y)=x^2+1. A condição de conservatividade em domínios simplesmente conexos exige partial P/partial y=partial Q/partial x. Calculamos:

Passo 3

partial Ppartial y=partialpartial y(2xy)=2x,

Passo 4

partial Qpartial x=partialpartial x(x^2+1)=2x

Passo 5

Como partial P/partial y=2x=partial Q/partial x em todo R^2, e R^2 é simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo.

Passo 6

Para encontrar a função potencial f(x,y), integramos P em relação a x introduzindo uma função arbitrária phi(y):

Passo 7

f(x,y)=integral 2xy,dx = x^2y + phi(y)

Passo 8

Em seguida, igualamos a derivada parcial de f em relação a y a Q:

Passo 9

partial fpartial y=x^2+phi'(y)=x^2+1

Passo 10

Daí phi'(y)=1, logo phi(y)=y+C, com C constante.

Passo 11

Substituindo de volta, a função potencial geral é f(x,y)=x^2y + y + C.

Resposta

A função potencial associada é f(x,y)=x^2y + y + C, com C constante arbitrária.

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