Determine as derivadas parciais de 1^circ ordem das funções abaixo:
f(x, y)=x^2 y+3 y^2.
f(x, y)=xy
f(x, y)=x(x+y)^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x,y)=x^2y+3y^2,
f(x,y)=xy e
f(x,y)=x(x+y)^2.
Para isso, vamos usar que
partialpartial x trata y como constante e
partialpartial y trata x como constante, aplicando regra do produto, potência, quociente e cadeia conforme apropriado.

Passo 2

Para f(x,y)=x^2y+3y^2:
– Ao derivar em x, y é constante, então
partial fpartial x=2x,y+0=2xy.
– Ao derivar em y, x é constante, então
partial fpartial y=x^2+6y.

Passo 3

Para f(x,y)=xy=x,y^-1:
– Ao derivar em x, y^-1 é constante, logo
partial fpartial x=y^-1=1y.
– Ao derivar em y, usa-se potência:
partial fpartial y=xcdot(-1),y^-2=-xy^2.

Passo 4

Para f(x,y)=x(x+y)^2=x,(x+y)^-2:
– Em x: aplica-se produto e cadeia,
partial fpartial x =(x+y)^-2+xcdot(-2)(x+y)^-3cdot1 =1(x+y)^2-2x(x+y)^3 =y-x(x+y)^3
– Em y: x é constante e só entra na cadeia,
partial fpartial y =xcdot(-2)(x+y)^-3cdot1 =-2x(x+y)^3

Resposta

  1. partial fpartial x=2xy, partial fpartial y=x^2+6y
  2. partial fpartial x=1y, partial fpartial y=-xy^2
  3. partial fpartial x=y-x(x+y)^3, partial fpartial y=-2x(x+y)^3

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