Em cada caso, calcule as derivadas zx, zy, zx x, zy y e zy x.
z=arccos (x y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
z = arccos(xy)
O conteúdo da matéria usado aqui é a regra da cadeia aplicada à função composta arccos(u) com u=xy.

Passo 2

Para começar, lembramos que
dduarccos(u) = -1raiz1-u^2
Tomando u=xy, obtemos
ux = y, uy = x
Logo, pelas derivadas parciais de z,
zx = -yraiz1-(xy)^2, zy = -xraiz1-(xy)^2

Passo 3

Agora calculamos zxx derivando zx em relação a x.
Escrevendo
zx = -y,(1 - x^2y^2)^-tfrac12
e aplicando a regra da cadeia, vem
zxx = -y cdot l(-tfrac12r)(1 - x^2y^2)^-tfrac32cdot(-2xy^2) = -x,y^3(1 - x^2y^2)^3/2

Passo 4

De modo análogo, para zyy derivamos zy em relação a y.
Como
zy = -x,(1 - x^2y^2)^-tfrac12,
temos
zyy = -x cdot l(-tfrac12r)(1 - x^2y^2)^-tfrac32cdot(-2x^2y) = -x^3,y(1 - x^2y^2)^3/2

Passo 5

Por fim, calculamos zyx derivando zy em relação a x.
Partindo de
zy = -x,(1 - x^2y^2)^-tfrac12,
aplicamos a regra do produto e a cadeia para obter
zyx = - (1 - x^2y^2)^-tfrac12 - xcdotl(-tfrac12r)(1 - x^2y^2)^-tfrac32cdot(-2xy^2) = -1(1 - x^2y^2)^3/2

Resposta

zx = -yraiz1 - x^2y^2
zy = -xraiz1 - x^2y^2
zxx = -x,y^3(1 - x^2y^2)^3/2
zyy = -x^3,y(1 - x^2y^2)^3/2
zyx = -1(1 - x^2y^2)^3/2

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