Exercício 1.4. Prove, usando a definição de limite que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar, usando a definição de limite, que . Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências e vamos precisar usar a definição formal de limite para sequências. Basicamente, vamos mostrar que, conforme fica cada vez maior, a expressão se aproxima cada vez mais de 2.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para sequências. Dizemos que se, para todo , existe um número natural tal que, para todo , . Aqui, é a nossa sequência, e é o limite que queremos provar.
Passo 3
No nosso caso, a sequência é e queremos mostrar que o limite . Então, precisamos provar que, para qualquer , podemos encontrar um tal que, se , então .
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Então, nossa condição para demonstrar é:
3n < varepsilon
Passo 5
Agora, queremos encontrar N tal que, se n >= N, então 3n < varepsilon. Para isso, podemos resolver a iniquação:
3n < varepsilon implies n > 3varepsilon
Então, basta escolher N como sendo um número natural maior que 3varepsilon.
Passo 6
Portanto, para qualquer varepsilon > 0, escolhemos:
N = lceil 3varepsilon rceil
onde lceil cdot rceil representa o menor número inteiro maior ou igual a 3varepsilon. Assim, para todo n >= N, temos 3n < varepsilon, o que satisfaz a definição de limite.