Exercício 1.4. Prove, usando a definição de limite que lim n infty(2-3n)=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar, usando a definição de limite, que lim n infty(2-3n)=2. Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências e vamos precisar usar a definição formal de limite para sequências. Basicamente, vamos mostrar que, conforme n fica cada vez maior, a expressão 2 - 3n se aproxima cada vez mais de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para sequências. Dizemos que limn to inftyan = L se, para todo varepsilon > 0, existe um número natural N tal que, para todo n >= N, |an - L| < varepsilon. Aqui, an é a nossa sequência, e L é o limite que queremos provar.

Passo 3

No nosso caso, a sequência é an = 2 - 3n e queremos mostrar que o limite L = 2. Então, precisamos provar que, para qualquer varepsilon > 0, podemos encontrar um N tal que, se n >= N, então |2 - 3n - 2| < varepsilon.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
|2 - 3n - 2| = | -3n | = 3n
Então, nossa condição para demonstrar é:
3n < varepsilon

Passo 5

Agora, queremos encontrar N tal que, se n >= N, então 3n < varepsilon. Para isso, podemos resolver a iniquação:
3n < varepsilon implies n > 3varepsilon
Então, basta escolher N como sendo um número natural maior que 3varepsilon.

Passo 6

Portanto, para qualquer varepsilon > 0, escolhemos:
N = lceil 3varepsilon rceil
onde lceil cdot rceil representa o menor número inteiro maior ou igual a 3varepsilon. Assim, para todo n >= N, temos 3n < varepsilon, o que satisfaz a definição de limite.

Resposta

lim n infty(2-3n)=2.

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