Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^prime prime+9 y=e^t, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y'' + 9y = e^t
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Vamos usar a transformada de Laplace, lembrando que
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0) e Le^t = tfrac1s-1.

Passo 2

Aplicando a transformada em ambos os lados:
Ly'' + 9,Ly = Le^t
s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0) + 9Y(s) = 1s-1
Como y(0)=0 e y'(0)=0, obtemos
(s^2+9),Y(s) = 1s-1

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s) = 1(s-1),(s^2+9)

Passo 4

Fazendo frações parciais, escrevemos
1(s-1)(s^2+9) = As-1 + Bs + Cs^2+9
Multiplicando e comparando coeficientes, achamos
A = tfrac110,;B = -tfrac110,;C = -tfrac110
Logo
Y(s) = tfrac110s-1 ;-;tfrac110s + tfrac110s^2+9

Passo 5

Invertendo termo a termo:
L^-1tfrac1/10s-1 = tfrac110e^t, L^-1tfracss^2+9 = cos(3t), L^-1tfrac1s^2+9 = tfrac13sin(3t)
Portanto
y(t) = 110e^t ;-;110cos(3t);-;130sin(3t)

Resposta

y(t) = 110e^t - 110cos(3t) - 130sin(3t)

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