Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral sin (4 x) sin (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sin(4x),sin(5x),dx
O conteúdo principal aqui é usar a identidade de produto em soma para funções trigonométricas.

Passo 2

Usamos a fórmula
sin(alpha),sin(beta) = 12l[cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)r]
Tomando alpha=4x e beta=5x, temos
sin(4x),sin(5x) = 12l[cos(4x-5x)-cos(4x+5x)r] = 12l[cos(x)-cos(9x)r]

Passo 3

Substituindo na integral:
integral sin(4x),sin(5x),dx = 12,integrall[cos(x)-cos(9x)r]dx

Passo 4

Separamos e integramos cada termo usando integral cos(kx),dx = tfrac1ksin(kx):
12integralcos(x),dx = 12,sin(x), 12integralcos(9x),dx = 12cdot19sin(9x) = 118sin(9x)

Passo 5

Juntando os resultados e adicionando a constante C:
integral sin(4x),sin(5x),dx = 12,sin(x) - 118,sin(9x) + C

Resposta

12,sin(x) - 118,sin(9x) + C

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