Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região D do plano XY delimitada pelas curvas indicadas.
y=x^3, x+y=2 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região D limitada por
;y= x^3,;x+y=2 e ;y=0
Usaremos integral dupla para calcular
integral duplaD1,dA.

Passo 2

Encontramos os vértices de D pelas interseções:
  1. y=0 com y=x^3 em x^3=0implies x=0, ponto (0,0).
  2. y=0 com x+y=2 em x=2, ponto (2,0).
  3. y=x^3 com x+y=2 em x^3+x-2=0. Testando x=1 1+1-2=0, logo ponto (1,1).

Passo 3

Para montar a integral em ordem dy,dx seria preciso dividir em dois trechos de x, mas em ordem dx,dy fica simples:
para cada yin[0,1] a borda esquerda é dada por
x=y^1/3
e a borda direita por
x=2-y
Assim
D=l(x,y)mid 0<= y<=1,;y^1/3<= x<=2-yr

Passo 4

Escrevemos a área como
integral duplaD1,dA =integraly=0^1l[integralx=y^1/3^,2-y1,dxr]dy =integral0^1l((2-y)-y^1/3r),dy

Passo 5

Calculamos
integral0^1(2-y),dy =l[2y-tfracy^22r]0^1 =2-tfrac12=tfrac32,
integral0^1y^1/3,dy =l[tfracy^4/34/3r]0^1 =tfrac34
Logo
integral0^1l((2-y)-y^1/3r),dy =tfrac32-tfrac34 =tfrac34

Resposta

A área da região D é tfrac34.

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