lim x inftyx[ln (x+1)-ln x]

Passo 1

Enunciado: calcular limxtoinftyxl[ln(x+1)-ln xr]. Conteúdo: limites que levam à indeterminação do tipo inftycdot 0. Vamos reescrever a diferença de logaritmos e aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Observamos que
ln(x+1)-ln x = ln!l(tfracx+1xr) = ln!l(1+tfrac1xr)
Assim, a expressão vira
x,ln!l(1+tfrac1xr)
Quando xtoinfty, temos ln(1+1/x)to0 e xtoinfty, configurando a indeterminação inftycdot0.

Passo 3

Para usar a Regra de L’Hôpital, transformamos o produto em quociente:
x,ln!l(1+tfrac1xr) = ln(1+1/x)1/x
Nesse formato, ao fazermos xtoinfty, numerador e denominador tendem a 0, gerando uma forma indeterminada 0/0.

Passo 4

Diferenciamos numerador e denominador em relação a x. Para o numerador:
ddxln!l(1+tfrac1xr) = 11+1/x,ddxl(1+tfrac1xr) = 11+1/x,l(-tfrac1x^2r) = -1x^2,(1+1/x)
Para o denominador:
ddxl(tfrac1xr) = -tfrac1x^2
Pela Regra de L’Hôpital,
limxtoinftyln(1+1/x)1/x = limxtoinfty-1x^2(1+1/x)-1x^2 = limxtoinfty11+1/x = 1

Passo 5

Portanto, o limite original é igual a 1.

Resposta

1

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