lim x 0(1+x^2)^cot ^2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0(1 + x^2)^cot^2x. O conteúdo é limites de função com indeterminação do tipo 1^infty, e vamos precisar usar a transformação com logaritmo natural e aproximações por séries de Taylor para funções próximas de zero.

Passo 2

Quando xto0 temos
1 + x^2 to 1
e
cot^2x = cos^2xsin^2xto +infty
configurando a forma indeterminada 1^infty.

Passo 3

Para resolver 1^infty, definimos
y = (1 + x^2)^cot^2x
e aplicamos o logaritmo natural:
ln y = cot^2x cdot ln(1 + x^2)

Passo 4

Agora usamos expansões de Taylor para x pequeno:
  • ln(1 + x^2) sim x^2.
  • cot x = cos xsin x e, como sin x sim x e cos x sim 1, temos cot x sim tfrac1x, logo cot^2x sim tfrac1x^2.

Passo 5

Substituindo as aproximações em ln y:
ln y sim 1x^2 cdot x^2 = 1
Portanto
limxto0 ln y = 1

Passo 6

Aplicando a exponencial para voltar de ln y a y, concluímos que
limxto0 y = e^1 = e

Resposta

e

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