lim x pi2(1+cos x)^3cos x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
limxto pi2l(1+cos xr)^3cos x
O conteúdo aqui é limites do tipo exponencial, em especial o clássico
limtto 0(1+t)^1t=e
Vamos usar logaritmo para trazer a expressão para uma forma conhecida.

Passo 2

Definimos
L = limxto pi2l(1+cos xr)^3cos x
e calculamos o logaritmo natural
ln L = limxto pi23cos x,lnl(1+cos xr)

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
t = cos x,
então, quando xto pi2, temos tto 0. Assim
ln L = limtto 03,ln(1+t)t

Passo 4

Usamos o limite padrão
limtto 0ln(1+t)t=1
para concluir que
ln L = 3cdot 1 = 3
Portanto
L = e^3

Resposta

e^3

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