lim x 0 tan x-sin xsin ^3 x

Passo 1

O enunciado pede calcular limxto0tan x - sin xsin^3 x. Este exercício envolve funções trigonométricas e o uso de aproximações para pequenos valores de x, ou seja, séries de Taylor em torno de zero.

Passo 2

Para obter a expansão até a ordem necessária, lembramos que
sin x = x - x^36 + o(x^3)
tan x = x + x^33 + o(x^3)

Passo 3

Subtraindo as duas expansões, temos
tan x - sin x = l(x + x^33 + o(x^3)r) - l(x - x^36 + o(x^3)r) = x^32 + o(x^3)

Passo 4

O denominador é
sin^3 x = l(x - x^36 + o(x^3)r)^3 = x^3 + o(x^3)

Passo 5

Portanto
tan x - sin xsin^3 x = x^32 + o(x^3)x^3 + o(x^3) ;xrightarrow[xto0]; 12

Resposta

12

Exercícios relacionados