Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
integral0^1 integral0^1 e^x+y d y d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
integral0^1integral0^1e^x+y,dy,dx
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração (aqui mantemos a mesma ordem), e a técnica de integração de exponenciais, lembrando que, ao integrar em y, x é tratado como constante, e vice-versa.

Passo 2

Começamos calculando a integral interna em y:
integral0^1e^x+y,dy
Como x é constante nessa etapa, escrevemos e^x+y=e^x,e^y, e então
integral0^1e^x+y,dy =e^xintegral0^1e^y,dy =e^xl[e^yr]0^1 =e^x,(e-1)

Passo 3

Agora substituímos esse resultado na integral externa em x:
integral0^1e^x(e-1),dx =(e-1)integral0^1e^x,dx =(e-1)l[e^xr]0^1 =(e-1),(e-1)

Resposta

integral0^1integral0^1e^x+y,dy,dx=(e-1)^2

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